De eenvoudige harmonische beweging is uitgevonden door de Franse wiskundige Baron Jean Baptiste Joseph Fourier in 1822. Edwin Armstrong (18 DEC 1890 tot 1 FEB 1954) observeerde oscillaties in 1992 in hun experimenten en Alexander Meissner (14 SEP 1883 tot 3 JAN 1958) vond oscillatoren in maart 1993. De term harmonisch is een Latijns woord. Dit artikel bespreekt een overzicht van de harmonische oscillator, inclusief de definitie, het type en de toepassingen ervan.

Wat is een harmonische oscillator?

Harmonische oscillator wordt gedefinieerd als een beweging waarbij de kracht recht evenredig is met het deeltje vanaf het evenwichtspunt en het produceert output in een sinusvormige golfvorm. De kracht die harmonische veroorzaakt beweging kan wiskundig worden uitgedrukt als

F = -Kx

Waar,

F = Herstelkracht

K = veerconstante

X = Afstand tot evenwicht

blokschema-van-harmonische-oscillator

Er is een punt in de harmonische beweging waarin het systeem oscilleert, en de kracht die de massa steeds weer op hetzelfde punt brengt vanwaar het begint, wordt de kracht genoemd herstelkracht en het punt heet evenwichtspunt of gemiddelde positie. Deze oscillator wordt ook wel een lineaire harmonische oscillator De energie stroomt van actief componenten op passieve componenten in de oscillator.

Blokdiagram

De blokschema van de harmonische oscillator bestaat uit een versterker en een feedbacknetwerk. De versterker wordt gebruikt om de signalen te versterken en dat versterkte signalen door een feedbacknetwerk worden gestuurd en de output genereren. Waar Vi de ingangsspanning is, Vo is de uitgangsspanning en Vf is de feedbackspanning.

Voorbeeld

Mis op een veer: De veer zorgt voor herstelkracht die de massa versnelt en de herstelkracht wordt uitgedrukt als

F = ma

Waar ‘m’ de massa is en a een versnelling.

“hoe creëert een liquid crystal display een kleurenbeeld? ”

massa-op-een-veer

De veer bestaat uit een massa (m) en kracht (F). Wanneer de kracht de massa trekt op een punt x = 0 en alleen afhankelijk is van x - positie van de massa en de veerconstante wordt weergegeven door een letter k.

Soorten harmonische oscillatoren

Typen van deze oscillator omvatten voornamelijk de volgende.

Geforceerde harmonische oscillator

Wanneer we externe kracht uitoefenen op de beweging van het systeem, dan wordt gezegd dat de beweging een geforceerde harmonische oscillator is.

Gedempte harmonische oscillator

Deze oscillator wordt gedefinieerd als, wanneer we externe kracht op het systeem uitoefenen, de beweging van de oscillator vermindert en dat de beweging ervan een gedempte harmonische beweging is. Er zijn drie soorten gedempte harmonische oscillatoren

demping-golfvormen

Overgedempt

Wanneer het systeem langzaam naar het evenwichtspunt beweegt, wordt er gezegd dat het een overgedempte harmonische oscillator is.

Onder gedempt

Wanneer het systeem snel naar het evenwichtspunt beweegt, wordt er gezegd dat het een overgedempte harmonische oscillator is.

Kritisch gedempt

Wanneer het systeem zo snel mogelijk beweegt zonder te oscilleren rond het evenwichtspunt, wordt er gezegd dat het een overgedempte harmonische oscillator is.

Quantum

Het is uitgevonden door Max Born, Werner Heisenberg en Wolfgang Pauli aan de 'Universiteit van Gottingen'. Het woord kwantum is het Latijnse woord en de betekenis van kwantum is een kleine hoeveelheid energie.

Nulpuntsenergie

De nulpuntsenergie wordt ook wel grondtoestandsenergie genoemd. Het wordt gedefinieerd wanneer de energie van de grondtoestand altijd groter is dan nul en dit concept is ontdekt door Max Planck in Duitsland en de formule is ontwikkeld in 1990.

Gemiddelde energie van gedempte eenvoudige harmonische oscillatorvergelijking

Er zijn twee soorten energieën: kinetische energie en potentiële energie. De som van kinetische energie en potentiële energie is gelijk aan de totale energie.

E = K + U ………………. Eq (1)

Waarbij E = Totale energie

K = kinetische energie

U = potentiële energie

Waar k = k = 1/2 mv^twee………… eq (2)

U = 1/2 kx^twee………… eq (3)

oscillatie-cyclus-voor-gemiddelde-waarden

De gemiddelde waarden van kinetische en potentiële energie per oscillatiecyclus zijn gelijk aan

Waar v^twee= v^twee(NAAR^twee-X^tweeeq (4)

Vervang eq (4) in eq (2) en eq (3) krijgt

k = 1/2 m [w^twee(NAAR^twee-X^twee

= 1/2 m [Aw cos (wt + ø₀^tweeeq (5)

U = 1/2 kx^twee

= 1/2 k [Een zonde (wt + ø₀^tweeeq (6)

Vervangende vergelijking (5) en vergelijking (6) in vergelijking (1) krijgt de totale energiewaarde

E = 1/2 m [w^twee(NAAR^twee-X^twee)] + 1/2 kx^twee

= 1/2 m w^twee-1/2 m w^tweeNAAR^twee+ 1/2 kx^twee

= 1/2 m w^tweeNAAR^twee+1/2 x^twee(K-mw^tweeeq (7)

Waar mw^twee= K , vervang deze waarde in vergelijking (7)

E = 1/2 K EEN^twee- 1/2 Kx^twee+ 1/2 x^twee= 1/2 K EEN^twee

Totale energie (E) = 1/2 K EEN^twee

De gemiddelde energieën voor één tijdsperiode worden uitgedrukt als

NAAR_gem= U_gem= 1/2 (1/2 K EEN^twee

Harmonische oscillator golffunctie

De Hamiltoniaanse operator wordt uitgedrukt als een som van kinetische energie en potentiële energie en wordt uitgedrukt als

ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)

Waar ђ = Hamitonische operator

T = kinetische energie

V = potentiële energie

Om de golffunctie te genereren, moeten we de Schrodinger-vergelijking kennen en de vergelijking wordt uitgedrukt als

-đ^twee/ 2μ * d^tweeѱ_υ(Q) / dQ^twee+ 1 / 2KQ^tweeѱ_υ(Q) = E_υѱ_υ(Q) …………. eq (2)

Waar Q = lengte van de normale coördinaat

Μ = effectieve massa

K = Krachtconstante

De randvoorwaarden van de Schrodinger-vergelijking zijn:

Ѱ (-∞) = ø

Ѱ (+ ∞) = 0

We kunnen ook de vergelijking (2) schrijven als

d^tweeѱ_υ(Q) / dQ^twee+ 2μ / đ^twee(E._υ-K / 2 * Q^twee) ѱ_υ(Q) = 0 ………… eq (3)

Parameters die worden gebruikt om een vergelijking op te lossen is

β = ђ / √μk ……… .. eq (4)

d^twee/ dQ^twee= 1 / β^tweed^twee/ dx^twee………… .. eq (5)

Vervang eq (4) en eq (5) in vergelijking (3), dan wordt de differentiaalvergelijking voor deze oscillator

d^tweeѱ_υ(Q) / dx^twee+ (2 μb^tweeE._υ/ đ^twee- x^twee) ѱ_υ(x) = 0 ……… .. eq (6)

De algemene uitdrukking voor machtsreeksen is

ΣC¬nx2 …………. eq (7)

Een exponentiële functie wordt uitgedrukt als

exp (-x^twee/ 2) ………… eq (8)

eq (7) wordt vermenigvuldigd met eq (8)

ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)

Hermitische polynomen worden verkregen met behulp van de onderstaande vergelijking

ђ_υ(x) = (-1)^υ* exp (x^twee) d / dx^υ* exp (-x^twee) …………… .. eq (10)

De normaliserende constante wordt uitgedrukt als

N_υ= (1/2^υυ! √Π)^1/2…………… .eq (11)

De eenvoudige harmonische oscillatoroplossing wordt uitgedrukt als

Ѱ_υ(x) = N_υH._υ(en) e^{-x2 / 2}……………… eq (12)

Waar N_υis de normalisatieconstante

H. _υis de Hermite

is ^{-x2 / twee}is de Gauss

Een vergelijking (12) is de golffunctie van de harmonische oscillator.

Deze tabel toont de eerste term Hermite polynomen voor de laagste energietoestanden

^υ	0	1	twee	3
H._υ(Y)	1	2j	4j^twee-twee	8j³-12j

De golffuncties van de eenvoudige harmonische oscillator-grafiek voor vier laagste energietoestanden worden weergegeven in de onderstaande figuren.

golffuncties-van-harmonische-oscillator

De waarschijnlijkheidsdichtheden van deze oscillator voor de vier laagste energietoestanden zijn weergegeven in de onderstaande figuren.

waarschijnlijkheid -densities-of -waveforms

kansdichtheden-van-golfvormen

Toepassingen

De simple harmonische oscillatortoepassingen omvatten voornamelijk de volgende

Audio- en videosystemen
Radio- en andere communicatieapparatuur
Omvormers , Alarmen
Zoemers
Decoratieve verlichting

Voordelen

De voordelen van de harmonische oscillator zijn

Goedkoop
Hoogfrequente generatie
Hoge efficiëntie
Goedkoop
Draagbaar
Zuinig

Voorbeelden

Het voorbeeld van deze oscillator omvat het volgende.

Muziekinstrumenten
Eenvoudige slinger
Massa veersysteem
Schommel
De beweging van de wijzers van de klok
De beweging van de wielen van auto, vrachtwagen, bussen, enz

Het is een soort beweging die we dagelijks kunnen waarnemen. Harmonisch oscillator golffunctie met behulp van Schrodinger en vergelijkingen van de harmonische oscillator worden afgeleid. Hier is een vraag, wat voor soort beweging wordt uitgevoerd door bungeejumpen?